小町算（こまちざん）

小町算とは

小町算（こまちざん）という和算を知っていますか？

小町算とは、１から９までの９この数字を使う数のパズルです。

ルールは以下の３つだけです。

• １から９までの数字を全て使う
• １から９までの順番を変えてはいけない
• 数と数との間に＋、−、×、÷、()、空白のいずれかを入れる

たった３つだけなので覚えやすいですね。

ちなみに、『空白』というのは、隣り合った数字をくっつけて一つの数字としてみてもOKという意味です。

例えば、１２３４…と並んでいた時、１＋２３＋４…のように23にしてもよいという感じです。

 

名前の由来

なぜ「小町」算なのでしょうか？

諸説ありますが…。

「小町」と言われて思い浮かべるのは、絶世の美女と呼ばれた小野小町（おののこまち）ですよね。

式が１から９まで美しく並んでいることから、小野小町の名前がつけられたそうです。

また、小野小町に取り憑いた四位の少将の霊が、九十九夜通ってくる場面で詠まれた詩からきたという言い伝えもあります。

当時は１から９までを使って99をつくることを考えていたそうですが、今では100をつくるのが一般によく知られています。

100にするのには＋ーだけでつくるれるので、子どもに説明するときにも扱いやすいです。

それでは実際にやってみましょう。

 

小町算（＋ーだけで100をつくろう！）

まずは、一つ一つの数の間にすべて＋を入れてみましょう。

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５

すべて足しても４５にしかなりませんね。

ですから、３つ目のルールの中の『空白』が必要になることがわかります。

１と２を合わせて１２としてみましょう。

１２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝５４

先ほどより９増えましたね。

この９というのは１＋２を１２としたことによります。わかりますよね。

もう少し詳しく見ると、

９というのは、１＋２＝３が１２となった、つまり１２ー３＝９の『９』です。

このように考え、１００まで目指していきましょう。

続いては、６と７のところをくっつけて６７としましょう。

すると６＋７＝１３だから、６７ー１３＝５４増えることになります。

１２＋３＋４＋５＋６７＋８＋９＝１０８

１０８となり、１００を８だけオーバーしてしまいました。

８を引けばいいので、「＋８」を「ー８」としてみると…

１２＋３＋４＋５＋６７ー８＋９＝９２

おや？今度は１００より８小さくなってしまいました。

このカラクリはわかりますか？

「＋８」を「ー８」とするということは、もとの式から「＋８」がなくなり、さらに「ー８」で８を引くということを一気に行っています。つまり、１６小さくしたことと一緒なのです。

ですから、８だけ小さくしたいのなら、「＋４」のところを「−４」に変えればOKということです。

よって、答えは、

１２＋３＋４＋５＋６７ー８＋９＝９２

ではなく、

１２＋３ー４＋５＋６７＋８＋９＝１００

という式になります。

ちゃんと１００になっていますね。よくできました。

 

今回の式以外にも１００にする式がいくつかあります。

何通り見つけられるかやってみてください。

• 1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9=100
• 123－45－67＋89=100
• 1×2×3×4＋5＋6＋7×8＋9=100
• 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8×9=100
• 1×2×3－4×5＋6×7＋8×9=100
• 123+45-67+8-9＝100
• 123-4-5-6-7+8-9=100
• 1+2+34-5+67-8+9=100
• 1+23-4+5+6+78-9=100
• 12+3+4+5-6-7+89=100
• 123+4-5+67-89=100
• 12-3-4+5-6+7+89=100
• -1+2-3+4+5+6+78+9=100
• 1+23-4+56+7+8+9=100

引用：Wikipedia

まとめ

手当たり次第計算してもいいですが、しっかりと考えを理解しながら取り組むことで思考力を鍛えることができます。

小学校の教科書に掲載されていることが多い和算ですが、中学校でも学年授業開きとして取り組んでも面白いと思います。

もし、中学校で授業として扱うなら、上の例で取り上げた２つのポイントを文字で考えるとよいですね。

a＋b の「＋」をなくすことで、10a+b-(a+b)=9a 分だけ数が増える a+bの「＋」を「ー」とすることは、(a-b)-(a+b)=-2b　となるので、bの２倍分だけ数が減る

ぜひ隙間時間にでもやってみてください。

 

 

小町算は、今回のように＋ーだけではなく、×や÷を使った式や、１００ではなく０にするようなものまで亜種が幅広く存在します。

僕がよく授業開きやるのは、Four Fours(４つの４)という４を４つ使って様々な数をつくるパズルです。

４が４つしかないので、計算がしやすく、加減乗除の他に指数や小数を使ったりすることができるので考えごたえがあるパズルです。中学３年生でも夢中で取り組みますよ。

もしよければ↓を参考にしてみてください。

【数学授業開き】Four Fours

その他、授業で使えそうなネタもあります。

1. 数学記事のまとめ
2. 【数学授業開き】17段目の秘密
3. 【数学授業開き】カードゲーム
4. 【数学授業開き】チョロQ
5. 【数学授業開き】分数サイコロ
6. 【数学ネタ】マクレガーの地図
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