【数学ネタ】ガリレオに届いた確率の問題【直感に負けるな】

 

数学を学んだことがある人なら誰しもが知っているガリレオ・ガリレイ。

ガリレオは数学界において様々な貢献をしてきました。

その中の一つとして『確率論』があります。

確率の考え方の基礎について「さいころゲームについての考察」という論文を書きました。

この論文を書くきっかけとなったのはある確率の問題だったそうです。

今日は、その問題について考えていきましょう。

確率の問題には直感と違う、勘違いをしやすい問題がたくさんあります。

みなさんは、勘違いをせずにしっかりと答えを導けるでしょうか。

 

ある貴族からガリレオへの依頼

３つのさいころを投げたとき、出た目の和が９になる場合は、

（１、２、６）（１、３、５）（１、４、４）（２、２、５）（２、３、４）（３、３、３）

の６通りになります。

一方、３つのさいころを投げたとき、10になる場合は、

（１、３、６）（１、４、５）（２、２、６）（２、３、５）（２、４、４）（３、３、４）

の６通りになります。

上記のように、それぞれ和が９になる場合も和が10になる場合もそれぞれ６通りあります。

しかし、私（貴族）の経験からすると、和が９になる場合より、和が10になる場合のほうが出やすいように感じられます。

そこで、ガリレオ氏に、実際のところどうなのか調べてほしいのです。

以上のような問題です。

この謎が解けますか？

 

解法

この問題を解くポイントは、本当に６通りだけなのかということです。

例えば、和が９になる目（１、２、６）をみてみましょう。

手紙の中では、この（１、２、６）が出る場合の数を１通りとして考えています。

本当に１通りだけなのでしょうか。

答えはNOです！

この（１、２、６）というのは、３つあるさいころのうちの、１つが１、１つが２、１つが６が出たということです。出た順番は考えていないんですね。

つまり、１つ目のさいころが２、２つ目のさいころが６、３つ目のさいころが１でも（１、２、６）で表されます。

そこで、３つのさいころを『１つ目』『２つ目』『３つ目』と区別して考えていくと、

１つ目	２つ目	３つ目
１	２	６
１	６	２
２	１	６
２	６	１
６	１	２
６	２	１

表のように全部で６通りあることがわかります。

以上のように、全てを１通りで考えてはいけないということです。

この考えをベースに同じように考えていきましょう。

ただし、（１、４、４）や（３、３、３）のようにさいころの目が同じ場合があるときには、６通りになりません。

（１、４、４）のように２つのさいころの目が同じ場合は下の表のようになります。

１つ目	２つ目	３つ目
１	４	４
４	１	４
４	４	１

一つ目に１が出てしまうと、２つ目、３つ目はいずれにせよ４となってしまいます。

よって、２つのさいころの目が同じ場合は３通りということになります。

同じように考えると、（３、３、３）のように３つのさいころの目が同じ場合はわかりますよね。

１つ目	２つ目	３つ目
３	３	３

これ以外ありませんから、３つのさいころの目が同じ場合は１通りです。

 

以上をまとめると、次のようになります。

（１、２、６）のように３つのさいころの目の出方がそれぞれ違う場合　→　６通り （１、４、４）のように２つのさいころの目が同じ場合　→　３通り （３、３、３）のように３つのさいころの目が同じ場合　→　１通り

これをもとにもう一度、出た目の和が９になるときと、10になるときの場合の数を考えてみましょう。

出た目の和が９になるとき

問題から出た目が９になるときは、

（１、２、６）（１、３、５）（１、４、４）（２、２、５）（２、３、４）（３、３、３）

それぞれみていくと、

（１、２、６）（１、３、５）（２、３、４）はそれぞれ６通り×３＝18通り

（１、４、４）（２、２、５）はそれぞれ３通り×２＝６通り

（３、３、３）は１通り

よって、全部で18＋６＋１＝25通りとなります。

出た目の和が10になるとき

問題から、出た目の和が10になるときは、

（１、３、６）（１、４、５）（２、２、６）（２、３、５）（２、４、４）（３、３、４）

それぞれみていくと、

（１、３、６）（１、４、５）（２、３、５）はそれぞれ６通り×３＝18通り

（２、２、６）（２、４、４）（３、３、４）はそれぞれ３通り×３＝９通り

よって、全部で18＋９＝27通りとなります。

結論

ここまでみてきたことから、

出た目の和が９になる場合の数は25通り、出た目の和が10になる場合の和は27通りとなるので、

出た目の和が10になる場合のほうが出やすい、ということがわかりました。

ガリレオはここまで導きました！

直感に論理で立ち向かうのは素晴らしいですね！

 

ただし、ガリレオが導いたのは何通りということまでだそうです。

そこで、それぞれの確率を求めてみましょう。

確率を求めるためには、

（ある事柄が起こる場合の数）÷（起こりうるすべての場合の数）

で求めることができます。

今回の場合、さいころを３つ投げますから、「起こりうるすべての場合の数」は２１６通りとなります。

この数字は、さいころ１つで６通りあり、それを３つ投げますので、

６通り×６通り×６通り＝２１６通り

となります。

よって、出た目の和が９になる場合の数は25通りですから、

２５÷２１６＝約０.１１６で約１１.６％

出た目の和が10になる場合の数は27通りですから、

２７÷２１６＝０.１２５で１２.５％

となります。

数値でもわかる通り、出た目の和が10になる場合の方が確率が高いですね。

 

まとめ

今日は、ガリレオに届いたある貴族の問題を考えました。

直感とは違うところにおもしろさを感じますね。

ちなみに、この貴族はギャンブラーだったそうです。

よくよく考えると、わずか１％にも満たない差を「出やすいように感じられる」ってなかなかエゲツないですよね。

ギャンブラーの直感恐るべし・・・。

 

以上、参考になれば嬉しいです。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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