こんにちは。
今日は、『塵劫記』に出てくる問題から、中学校の数学に関係がある問題を紹介します。
教科書からだけではなく、いろいろなところから数学のネタを仕入れておくと後々便利ですよ！
ねずみ算
塵劫記といえば、誰もが聞いたことがあるのは、ねずみ算ですね。
ねずみの繁殖の早さを表した問題です。
中学校１年生の「累乗」の考え方を使います。
| 【問題】正月に父ねずみと母ねずみがいて、６ひきの雄ねずみと６ひきの雌ねずみを産む。２月初めには14ひきのねずみが７組の夫婦となり、それぞれが12ひきずつの雄ねずみと雌ねずみを産み、３月初めには98ひきとなる。こうして、12月末にはねずみの総数は何ひきになるか。 |
解説
| 月 | 生まれた子ねずみの数 | 親を含めた総数 |
| 正月（１月） | １２ | １４ |
| ２月 | ８４ | ９８ |
| ３月 | ５８８ | ６８６ |
| ４月 | ４１１６ | ４８０２ |
| ５月 | ２８８１２ | ３３６１４ |
| ６月 | ２０１６８４ | ２３５２９８ |
| ７月 | １４１１７８８ | １６４７０８６ |
| ８月 | ９８８２５１６ | １１５２９６０２ |
| ９月 | ６９１７７６１２ | ８０７０７２１４ |
| １０月 | ４８４２４３２８４ | ５６４９５０４９８ |
| １１月 | ３３８９７０２９８８ | ３９５４６５３４８６ |
| １２月 | ２３７２７９２０９１６ | ２７６８２５７４４０２ |
上の表のように、１ヶ月で１対のねずみが７対になり、次の月には７×７対となり、さらにその次の月には×７・・・と７倍ずつ対のねずみが増えていきます。
したがって、１２月末では、７の１２乗の対のねずみがいることになります。
$$ ２×７^{12}=27682574402 $$
よって、２７６億８２５７万４４０２ひきのねずみがいることになります。
答え ２７６億８２５７万４４０２ひき
グロいですね。。。
鶴亀算
これもよく知られている問題ですね。
中学校２年生の「連立方程式」の考え方が使われます。
正しくは、連立方程式の考え方を使っても求められます。ですね。
| 【問題】鶴と亀の頭の数は合わせて１００、足の数は全部で２７２である。鶴と亀の数をそれぞれ求めよ。 |
解説
- 全部が鶴と考える（足が２本と考える）と、足の数は100×２＝200となり、全部の足の数より72本少ない。
- 鶴１羽を亀１ひきに変えると、足の数は２本増えるから、亀の数は、72÷２＝36（ひき）
- したがって、鶴の数は、100–36＝64（羽）
答え 鶴の数64羽 亀の数36ひき
連立方程式だと、次のようになります。
| \begin{array}{1} x+y=100 \\ 2x + 4y =272 \end{array} |
カラス算
塵劫記には動物が話題の問題が多いですね。
中学校３年生の「式の展開」の考え方を使うと簡単に求められます。
| 【問題】９９羽のカラスがいる。どのカラスも、９９の浜辺で９９回ずつ鳴くとき、全部で何回鳴くことになるか。 |
解説
９９羽のカラスが、９９の浜辺で、９９回ずつ鳴くので、
99×99×99＝970299
答え 970299回
ただ、この計算はめんどくさいので、工夫します。
乗法の公式を利用して、
$$ 99×99×99=(100-1)^2×99=(100^2-2×100×1+1^2)×99=9801×99=970299 $$
と計算することもできます。
図形問題
図形の問題は難しいです。
中学校３年生の「三平方の定理」を利用します。
| 【問題】いま、縦と斜辺の和が72cmで、横と斜辺の和が81cmの直角三角形がある。縦と横と斜辺の長さを求めよ。 |
解説
$$ 縦の辺をa 、横の辺をb、斜辺をc とする。 $$
問題より、
$$ a+c=72 , b+c=81 $$
式を変形すると、
$$ a=72-c , b=81=c $$
また、三平方の定理より、
$$ a^2+b^2=c^2 $$
ゆえに、
$$ (72-c)^2+(81-b)^2 = c^2 $$
展開すると、
$$ c^2-306c+11745=0 $$
解の公式を利用して解くと、
$$ c=45 または c=261 $$
c=261は問題に適さないので、c=45
よって、
$$ a=72-45=27 , b=81-45=36 $$
答え 縦27cm、横36cm、斜辺45cm
油分け算
中学校の数学の内容ではありませんが、もう一問紹介します。
論理問題のような形で解くことができます。
| 【問題】１斗の油がおけに満たされている。３升ますと７升ますをそれぞれ１個使って、１斗の油を半分ずつに分けるにはどうすればよいか。ただし、１斗は１０升である。 |
解説
- １斗のおけから３升ますで３回、７升ますが一杯になるように入れると、３升ますには油が２升残る。
- 次に、いっぱいになった７升ますの油を、もとのおけに戻し、３升ますの残りの２升を７升ますに入れる。
- おけから３升ますで一杯取り、７升ますに入れる。７升ますには、２升＋３升＝５升 入っていることになる。
答え ３升ますを４回、７升ますを１回使えばよい。
まとめ
塵劫記は中学校の数学でも全然使えます！
ぜひ、使ってみてください！
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