【数学ネタ】17段目の秘密

学校

こんばんは。

今日は、17段目の秘密という数学の授業で使えるネタを紹介します。

中学校1年生~3年生まで使えます!

準備物:17段のマス目をかいたワークシート

1段目
2段目
3段目
4段目
5段目
6段目
7段目
8段目
9段目
10段目
11段目
12段目
13段目
14段目
15段目
16段目
17段目

ワークシートはエクセルやスプレッドシートで簡単に作れますね。

もしよろしければどうぞ(17段目の秘密ワークシート)

授業の流れ

全体でルールの説明をします。

これから、みなさんにはある秘密を解き明かしてもらいます。

まず一段目になんでも良いので、好きな1桁の数字を入れてみて。

ぼくは、3を入れよう!

わたしは、7を入れます!ラッキーセブン!

じゃあ、2段目は先生に選ばせてください。

2段目は「5」を入れてみて。

すると、2つの数字が並んでいるよね、それらを足した数を3段目に書いてみて。このとき、2桁になったときには1の位を書きます。

ぼくは、1段目が「3」、2段目が「5」だから足して「8」を3段目に書けばいいんだね。

わたしは、1段目が「7」、2段目が「5」だから足して「12」。2桁になるから、1の位の「2」を3段目に書くのね。

そうだね!その調子です!

では、同じように今度は2段目と3段目の足した数を4段目に、3段目と4段目を足した数を5段目に・・・という感じで17段目まで計算してみてください。

計算を何回もやらなきゃいけないけど、書くのは1の位だけだから簡単だ!

でも、みんな全然違う表になってるけど、これで何をするのかな?

では、みんなできましたか?

たくさんの種類の表になっていると思います。

ただ、一つだけ驚くべきことを当ててあげましょう!

みなさんが作った表の一番最後、17段目には「5」が入っているんじゃないですか?!

うお〜!まじだ!

え〜!なんで〜!

どうでしたか。すごいですよね。実は、これにはちゃんとした数学の性質が使われているので証明することができます。今日は、この謎を解き明かしてみましょう!

以下続く・・・。

最後にもう一度授業の流れを明記します。

  1. 1段目には生徒達の好きな1桁の数字を入れてもらいます。
  2. 2段目には「先生に選ばせて」と言い、を入れます。
  3. 1段目と2段目の数を足します。
  4. 足したときの1の位を3段目に入れます。
  5. 4段目には2段目と3段目を足したときの1の位。
  6. 5段目には3段目と4段目を足したときの1の位・・・。このように17段目まで計算していきます。
  7. その後、思わせぶりな態度をとりつつ「17段目に入っている数字は5です。」と言いましょう。
  8. すると、子ども達から「お~!」と感動の声が上がります。

それだけで終わりにしてしまうのはもったいないので、

グループになり、規則性について考えることを伝え、なぜそうなるのか考える時間をとりましょう。2段目の数がキーポイントになります。この数字を変えたら17段目がどうなるか。完璧な証明は必要ありません。何でも良いから発見したことをグループで話し合います。

すると、多くのグループが2段目の数の7倍になることを発見します。ここで、全体で共有して終了です。

数学は、楽しかっただけで終わらせるのではなく、そこにどんな規則や法則が隠れているかを人に説明できる形で解き明かしていく学問だということを伝えます。

どんな規則になっているかがわかるとそれを応用することもできます。これから、授業で様々なことを学んでいきますが、公式をただ丸暗記するのではなく、なぜそうなるのかを理解しながら進んでほしいですね。

<補足>

1段目の数字をa2段目の数字をbとして文字式を利用して計算していくと、

17段目は610a+987b=10(61a+98b)+7bとなります。

n段目には (n-2) 段目と (n-1) 段目を足した後一の位しか書きません。

つまり、10(61a+98b)の部分はないものとして考えて大丈夫なんですね。

よって、7bだけしか残らないので、1段目の数字がなんであれ2段目の数の7倍になります。

1段目a
2段目b
3段目a+b
4段目a+2b
5段目2a+3b
6段目3a+5b
7段目5a+8b
8段目8a+13b
9段目13a+21b
10段目21a+34b
11段目34a+55b
12段目55a+89b
13段目89a+144b
14段目144a+233b
15段目233a+377b
16段目377a+610b
17段目610a+987b

最後まで読んでいただきありがとうございます。

他にも授業開きで使えそうな題材があるのでよろしければどうぞ。

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