【数学ネタ】魔法陣を方程式で考える方法

こんにちは、今日は、魔法陣（まほうじん）を方程式で考えていく方法を紹介します。一度は見たことがある魔法陣、規則は知っているけど、その作り方まで知っている人はあまりいないのではないでしょうか？ 魔法陣は方程式で考えることができます。中学校１年生の１次方程式をある程度学習した後、先生から子どもたちに提示してみても面白いかもしれません！ではいきましょう！

魔法陣（まほうじん）とは

魔法陣（まほうじん）とは

出典：Wikipedia　（メランコリアの魔法陣）

魔法陣は、上の絵のように、たて・よこ・ななめ、それぞれの数の和がすべて同じになるようにつくられている正方形です。上の絵の魔法陣は、１列に４つの数字が並ぶ４次の魔法陣です。一般に、数字が n 個ずつ並んでいるものを n 次の魔法陣といいます。

３次の魔法陣について考えよう！

今日は一番簡単な３次の魔法陣について考えていきます。

魔法陣って種類が色々あるんじゃないの？

いいえ、３次の魔法陣は基本的には１種類ですよ。

基本となる魔法陣をつくることができれば、それに加工をすることでいろいろなものがつくれます。例えば、以下の魔法陣を基本とします。【基本形】

４	９	２
３	５	７
８	１	６

①【基本形】の数に２を足せば・・・数字が大きくなる！

６	１１	４
５	７	９
１０	３	８

②【基本形】の数に５を引くと・・・マイナスでもOK！

−１	４	−３
−２	０	２
３	−４	１

③【基本形】を右に90°傾けると・・・形が変わる！

８	３	４
１	５	９
６	７	２

④【基本形】を裏返し（左と右の列を入れ替える）にすると・・・入れ替えるのは列でも行でもOK！

２	９	４
７	５	３
６	１	８

このように、【基本形】に加工することで、１種類の魔法陣から様々な魔法陣を作ることができます。もちろん、上の①〜④を組み合わせても大丈夫です。

３次の魔法陣を方程式で考えよう！

魔法陣の仕組みがわかったところで、一番基本となる【基本形】の魔法陣の作り方を考えていきましょう！作り方の方法は複数ありますが、今回は方程式を使って考えていきます。内容は、中学校１年生の１次方程式がわかれば作ることができます！数学の自由研究などにも使えます！

作り方

a	b	c
d	e	f
g	h	i

目標はこの a ~ i に１〜９の数字を入れていくことです。使う数字は１〜９なので、合計すると、

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５

縦の列に注目すると、全部で３列あります。つまり、１列の数の和は、

４５÷３＝１５

となります。よって、１〜９を使う魔法陣の場合、たて・よこ・ななめの数の和は全て１５となります。ここで、真ん中の e を含む、たて・よこ・ななめの数の和に着目します。

a + e + i , b + e + h , c + e + g , d + e + f

これらはそれぞれ和が１５になりますから、

( a + e + i ) + ( b + e + h ) + ( c + e + g ) + ( d + e + f ) = １５× ４

（）をとり、まとめると、

( a + b + c + d + e + f + g + h + i ) + ３e = ６０

ここで、( a + b + c + d + e + f + g + h + i ) は１〜９の総和だから、４５となります。

a + b + c + d + e + f + g + h + i = ４５

ゆえに、

( a + b + c + d + e + f + g + h + i ) + ３e = ６０

４５+ ３e = ６０

３e = １５

e = ５

a	b	c
d	５	f
g	h	i

つぎに、１を入れていきます。仮に、a =１とします。すると、

a + ５ + i =１５

より、i = ９であることがわかります。また、

b + c = １４ , d + g = １４

となる。ここに、残った数字、２・３・４・６・７・８を当てはめます。しかし、和が１４になる組み合わせは、６＋８しかありません。したがって、a = １は成り立たないことがわかります。同様にして、c , g , i に１を入れても成り立ちません。よって、１が入るのは、（ b , d , f , h ）のいずれかになります。ここで、h = 1 とすると、

b + ５ + h =１５

より、b = ９であることがわかります。