【数学ネタ】牛乳パック作り【2次方程式の導入】

数学

 

こんにちは。

今日は中学校3年生の『2次方程式』の導入で使えるネタを紹介します。

紹介するネタは、牛乳パックを作ろうです。

 

中学校の数学って、内容的に抽象的な要素が多く含まれていますよね。

それが算数との違いだとは思いますが。

でも、抽象的なことばかりだと、子どもたちの実感に伴った理解が得られない、ということがけっこうありますよね。

ぶっちゃけつまらない。

だから、教科書だけの問題で終わりにするのではなく、実験や具体物をできるだけ使った授業の方が子ども達の食いつき具合もやる気も上がります。

 

今回のネタ【牛乳パック作り】では、牛乳パックの模型の設計図をつくる場面で側面の長さを求めるときに式が2次方程式になるようにします。

すると、この単元で学ぶ2次方程式の式の形を自然と立式することになります。

単元の導入場面で、2次方程式がどういうものなのかを必要感をもって学ぶことができます

何より、子どもたちが楽しそうに活動しているのが最高

完成形はこんな感じです。

よくできてますよね。

もっと色を塗ったりデザインを考える時間があれば、廊下に掲示しても面白かったかもしれません。

 

解き方だけ学んでガシガシ計算問題をノートに解くんじゃなくて、子どもたちが実際に作る活動を取り入れた方が先生としても楽しいのでおすすめです。

 

準備物

準備物はほぼありません。

  • 画用紙を半分に切ったもの(いろいろな色があると楽しい)
  • はさみ
  • のり
  • (牛乳パックの模型)

画用紙に設計図を書いておくと、作業にすぐ取り掛かれます。

※設計図を子どもに書かせたい場合は、画用紙だけ渡せばOKです。

画用紙は以下のような縦30cm横19cmです。

 

今回の牛乳パックの模型を先に作っておくと、子どもの見通しが立ちやすくなります。

最悪、本物の牛乳パックを持ってきても大丈夫です。

 

本時の目的

この授業の目的は、

  • 2次方程式という式があることを知る
  • 2次方程式を使って牛乳パックを作ることで使える知識であることを実感する
  • 導入で楽しく活動することで、次時以降の意欲を上げる

もっと簡単に言うと、こんな感じです。

  • 2次方程式があるよー
  • 2次方程式って使えるんだよー
  • 楽しいでしょーだから次もがんばろー

 

授業の流れ

授業の流れの大枠は以下の通り

  1. 新しい単元に入ることの説明
  2. 牛乳パックの模型を作ることを伝える
  3. 模型を作るための設計図を考える
  4. 設計図をつくる段階で2次方程式を一緒に解く
  5. 設計図が完成
  6. 模型作り

では、それぞれ見ていきましょう。

新しい単元に入ることの説明

これから2次方程式という単元に入ることをお話しします。

内容は詳しく話す必要はありません。

式の展開や因数分解、平方根も使っていくことが抑えられればとりあえずは大丈夫です。

 

牛乳パックの模型を作ることを伝える

では、本時のメインです。

牛乳パックの模型作りをすることを伝えます。

このときに、実際に作った模型があるとイメージしやすいですね。

めあては、『牛乳パックを作ろう』とかですかね。

説明としては、

1枚の画用紙を半分に切ると、縦30cm、横19cmの画用紙ができます。

その画用紙を使い、容積が200mLの牛乳パックをつくります。

ただし、条件があります。

条件は3つ

  1. 画用紙は縦長に使う
  2. のりしろ1cmをとり、画用紙はあまりなく使う
  3. 縦の長さは10cmとする

 

模型を作るための設計図を考える

現段階では、以下のような画用紙の状態です。

これだけだと模型は作れません。

なので、先生が主導で子どもと対話をしながら設計図を完成させていきます。

これだと、模型は作れなさそうですね。どこの長さがわかればいいですか?

側面の長さです。

そうですね。のりしろ1cmを除くと残り18cmです。側面は4つありますからそれぞれの長さがわからないといけません。

向かい合う面の長さは同じになるのはわかりますが、それぞれの長さが何cmかはわかりません。

求めたい長さがあるときはどうしますか?

文字で置きます。わからない長さが2つあるからxとyかな?

縦と横がそれぞれ2セットあるから1セットは18÷2で9cmになるよね。だから、縦の長さをx(cm)と置けば横の長さは9−x(cm)で表せるね。

いい調子です。まとめると、模型を作ったときの底面の縦はx(cm)、横は9-x(cm)、高さは10(cm)となり、その容積が200mLですから式はどうなりますか。

x × (9−x) ×  10 =200です。

×を省略すると、10x(9-x)=200です。

これは方程式だ!でも、解けるかな?

一緒に解いていきましょう。

設計図をつくる段階で2次方程式を一緒に解く

まず、両辺を10でわって、整理すると、

–x^2 +9x+20=0となります。

xの2乗があります。難しそう…。

 

そうですね。このように方程式に2乗の文字が含まれているとき、この方程式を2次方程式といいます。

どうやって解くんですか?

この授業の最初にも言ったけど、前の単元で学習した因数分解や平方根を利用していくよ。今回の式も左辺だけ見ると変形できそうじゃない?

そうですね。左辺を因数分解すると、(x-4)(x-5)=0となります。

詳しいことはまた後でやるけど、(x-4)と(x-5)をかけ算したら0になるということは、xは何になるかな?

どちらかが0になればいいから…

わかった、xは4か5だ!

そう、その通りです!これで、設計図が完成しましたね。あとはこれを組み立てれば完成です!

設計図が完成

横の長さは、4cm、5cm、4cm、5cmとなります。

入れ替えて5cm、4cm、5cm、4cmの順番でも問題ありません。

設計図を完成させたら実際に牛乳パックの模型を作っていきます。

 

模型作り

あとは子ども達が自分たちでやりますので、机間指導しながら子ども達とコミュニケーションをとりましょう。

早く終わった子には、色を塗らせたり、デザインを考えさせたりすると面白いです。

 

以上参考になれば幸いです。

 

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