【数学ネタ】中学校数学に関係がある『塵劫記』の問題5選

数学

こんにちは。

今日は、『塵劫記』に出てくる問題から、中学校の数学に関係がある問題を紹介します。

教科書からだけではなく、いろいろなところから数学のネタを仕入れておくと後々便利ですよ!

 

ねずみ算

塵劫記といえば、誰もが聞いたことがあるのは、ねずみ算ですね。

ねずみの繁殖の早さを表した問題です。

中学校1年生の「累乗」の考え方を使います。

【問題】正月に父ねずみと母ねずみがいて、6ひきの雄ねずみと6ひきの雌ねずみを産む。2月初めには14ひきのねずみが7組の夫婦となり、それぞれが12ひきずつの雄ねずみと雌ねずみを産み、3月初めには98ひきとなる。こうして、12月末にはねずみの総数は何ひきになるか。

解説

生まれた子ねずみの数親を含めた総数
正月(1月)1214
2月8498
3月588686
4月41164802
5月2881233614
6月201684235298
7月14117881647086
8月988251611529602
9月6917761280707214
10月484243284564950498
11月33897029883954653486
12月2372792091627682574402

上の表のように、1ヶ月で1対のねずみが7対になり、次の月には7×7対となり、さらにその次の月には×7・・・と7倍ずつ対のねずみが増えていきます。

したがって、12月末では、7の12乗の対のねずみがいることになります。

$$ 2×7^{12}=27682574402 $$

よって、276億8257万4402ひきのねずみがいることになります。

答え 276億8257万4402ひき

グロいですね。。。

 

鶴亀算

これもよく知られている問題ですね。

中学校2年生の「連立方程式」の考え方が使われます。

正しくは、連立方程式の考え方を使っても求められます。ですね。

【問題】鶴と亀の頭の数は合わせて100、足の数は全部で272である。鶴と亀の数をそれぞれ求めよ。

解説

  1. 全部が鶴と考える(足が2本と考える)と、足の数は100×2=200となり、全部の足の数より72本少ない。
  2. 鶴1羽を亀1ひきに変えると、足の数は2本増えるから、亀の数は、72÷2=36(ひき)
  3. したがって、鶴の数は、100–36=64(羽)

答え 鶴の数64羽 亀の数36ひき

連立方程式だと、次のようになります。

\begin{array}{1} x+y=100 \\ 2x + 4y =272 \end{array} 

 

カラス算

塵劫記には動物が話題の問題が多いですね。

中学校3年生の「式の展開」の考え方を使うと簡単に求められます。

【問題】99羽のカラスがいる。どのカラスも、99の浜辺で99回ずつ鳴くとき、全部で何回鳴くことになるか。

解説

99羽のカラスが、99の浜辺で、99回ずつ鳴くので、

99×99×99=970299

答え 970299回

ただ、この計算はめんどくさいので、工夫します。

乗法の公式を利用して、

$$ 99×99×99=(100-1)^2×99=(100^2-2×100×1+1^2)×99=9801×99=970299 $$

と計算することもできます。

 

図形問題

図形の問題は難しいです。

中学校3年生の「三平方の定理」を利用します。

【問題】いま、縦と斜辺の和が72cmで、横と斜辺の和が81cmの直角三角形がある。縦と横と斜辺の長さを求めよ。

解説

$$ 縦の辺をa 、横の辺をb、斜辺をc とする。 $$

問題より、

$$ a+c=72 , b+c=81 $$

式を変形すると、

$$ a=72-c , b=81=c $$

また、三平方の定理より、

$$ a^2+b^2=c^2 $$

ゆえに、

$$ (72-c)^2+(81-b)^2 = c^2 $$

展開すると、

$$ c^2-306c+11745=0 $$

解の公式を利用して解くと、

$$ c=45 または c=261 $$

c=261は問題に適さないので、c=45

よって、

$$ a=72-45=27 , b=81-45=36 $$

答え 縦27cm、横36cm、斜辺45cm

 

油分け算

中学校の数学の内容ではありませんが、もう一問紹介します。

論理問題のような形で解くことができます。

【問題】1斗の油がおけに満たされている。3升ますと7升ますをそれぞれ1個使って、1斗の油を半分ずつに分けるにはどうすればよいか。ただし、1斗は10升である。

解説

  1. 1斗のおけから3升ますで3回、7升ますが一杯になるように入れると、3升ますには油が2升残る。
  2. 次に、いっぱいになった7升ますの油を、もとのおけに戻し、3升ますの残りの2升を7升ますに入れる。
  3. おけから3升ますで一杯取り、7升ますに入れる。7升ますには、2升+3升=5升 入っていることになる。

答え 3升ますを4回、7升ますを1回使えばよい。

 

まとめ

塵劫記は中学校の数学でも全然使えます!

ぜひ、使ってみてください!

 

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